Webページのテキストフィールドで入力モードの切り替えに不具合がある模様。生成されるWebページの環境にもよりますが、通常の入力モード切り替えに使うショートカット(command-space bar)では入力モードの変更ができなくなってしまうようです。こうなってしまうと入力モードメニューを開いても英字以外はグレーで表示され、ひらがなを選択できない状況になります。
対策としては、直接ひらがな入力モードを指定するショートカット(control-shift-J)もしくは入力メニューを順次切り替えショートカット(option-shift-space bar)を利用するしか方法がないようです。